Wednesday, April 24, 2024
Kulturë

DR.SC. QAMIL HAXHIBEQIRI – AVANCUES I SHKENCËS SË TOPOLOGJISË

 Ruzhdi SefaShkruan:  Prof. Dr. Ruzhdi SEFA

Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike

Ishim studentë kur dëgjuam dhe lexuam  për të arriturat e mr. Qamil Haxhibeqirit, atëbotë  asistent i lëndës së topologjisë  në Fakultetin e Shkencave Matematike-Natyrore të Universitetit të Prishtinës. Në mesin tonë, në qarqet e studentëve, në meset e intelektualëve dhe atyre që  me punën dhe veprat e tyre kontribuonin në proceset e zhvillimit të përgjithshëm për një emancipim jo vetëm ekonomik-social më të përshpejtuar punimi i tij i magjistraturës “Teoria e retrakteve në kategorinë topologjike dhe në kategorinë e formave” i mbrojtur me shumë sukses në Universitetin e Zagrebit (1974) përmendej si një e arritur në një lëmi të re shkencore: lëmi i  topologjisë. Kështu e shpjegonte asistenti i ri lëminë e topologjisë: ” Teoria e retrakteve ekziston që nga viti 1931 kur matematikani polak K. Borsuk në disertacionin e tij futi së pari nocionin e retraksionit. Ky problem është i lidhur ngusht me problemin e zgjerimit të funksioneve të vazhdueshme. Kurse teoria e formave është shumë më e re dhe fillimi i saj mund të merret viti 1968. Thënë pak më thjesht, teoria e formave është modifikim i teorisë së homotopisë “. Pak nga këto i kuptuam atëbotë! Por me kohë u bindem se Dr.sc. Q. Haxhibeqiri jo vetëm ka  kontribuar në teorinë e formës dhe teorinë e formës së fortë por edhe e ka avansuar shkencen në këtë disciplinë të matematikës. 

Antari korespodent i ASHAK prof. Dr. Qamil (Abdush) Haxhibeqiri  lindi në Gjakovë më 08.04.1949.  Babai i tij Qamili (1926 – 1949) ishte në muajt e parë të shërbimit si mësues (1948) në fshatin Isniq të anës së Deqanit që atëbotë i përkiste rrethit të Gjakovës  dhe në muajt  e parë të martesës, kur vdiq. Në të vërtet  në ditët e para të Janarit 1949 qe dërguar nga drejtoria e shkollës me një detyrë në Gjakovë. Pasi atëherë s’kishte lidhje automobilistike midis qytetit dhe fshatrave përrreth, udhëtoi në acarin e ditëve të dimrit  me një qerre tërheqëse të hapët dhe pësoi pezmatim akut, kështu  mbase vdes nga pasojat e miningitisit në  Janar 1949. Pas vdekjes së tij lindi Qamili i riu (të cilin për mos “me e zënë syri i ligë” e thirren Abdush). Miqët dhe shokët e afërt ashtu edhe e thërrasin: Abdush. Por e liga nuk iu nda familjës Haxhibeqiri. Me 1950 Abdushit njomak i vdiq edhe e ëma  duke mbetur bonjak dhe nën përkujdesjen e  gjyshit dhe gjyshes.

Shkollën fillore dhe atë të mesmen (gjimnazin) i kreu në Gjakovë. Në vitin shkollor 1967/68 i regjistron studimet e matematikës në Degën e Matematikës të Fakultetit të Filozofisë (më vonë Fakulteti i Shkencave Matematike-Natyrore- FSHMN) në Prishtinë të cilat i kryen në vitin 1971. Gjatë studimeve themelore, si student i dalluar, fiton bursën e Universitetit të Prishtinës. Gjatë kësaj kohe, dy herë merr pjesë në Garat e studentëve  të matematikës të  Universiteteve të Jugosllavisë. Me rastin e themelimit të Universitetit  të Prishtinës  më 1970   nderohet me LAVDATË  si mirënjohje për rezultatet e  arritura dhe përpjekjet e tij gjatë studimeve.

Në vitin akademik 1971/72 i regjistron studimet  pasuniversitare (dhe i ndjek ato si student  i rregulltë) në FSHMN të  Universitetit të Zagrebit- drejtimi i topologjisë, të cilat i përfundon në vitin 1974 me mbrojtjen e temës së magjistraturës. Mr.sc.Qamil Haxhibeqiri, vazhdon të punon ligjerues në Degën e matematikës të FSHMN të UP dhe me 1981 në FSHMN të Universitetit të Zagrebit para Komisionit të përberë nga prof.Dr.Sibe Mardešić, prof. dr. Šime Ungar dhe prof. dr. Ivan Ivanšić të Universitetit  të Zagrebit (Republika e Kroacisë) mbrojti me sukses të vlerësuar lartë temën e doktorratës “ Fibracionet e formës për hapësirat topologjike” punim ky që, sipas Komisionit, ishte një kontribut i rrallë  shkencave matematike dhe do të bejë shtytje të hovshme studimeve të mëtejme në këtë lëmi. Ashtu edhe doli të jetë. Dr.sc. Q. Haxhibeqiri prej asaj kohe në vazhdimësi me punimet e tija ka kontribuar dhe ka avancuar teorinë e formës  dhe teorinë e formës së fortë në nivel botëror.

Interesi  shkencor  i  Q. Haxhibeqirit  është i përqendruar  në lëmin e topologjisë në përgjithësi,  e veçanërisht në topologjinë algjebrike (teoria e formës).  Aktivitetin e tij shkencor  e fillon si anëtar  i Seminarit të Topologjisë të Universitetit të Zagrebit që nga viti 1972 (i udhëhequr, në atë kohë, nga topologu kroat me nam botëror Prof. Dr. Sibe Mardešić) për ta vazhduar atë deri në ditët e sotit. Ka të botuara një numër të konsiderueshëm punimesh shkencore dhe profesionale si dhe tre libra universitar. Punimet shkencore i ka të botuara në revista me recension ndërkombëtarë siç janë, Glasnik Matematiçki,  Publication de  l’Inst . Mathematique, Matematicki vesnik, Punime matematike, etj.  Rezultatet  shkencore  të Q. Haxhibeqirit  citohen në punimet e shumë topologëve të njohur si  S.Mardešić,T. Watanabe, T.Yagasaki, S.Noëak, F.W.Bauer, P.Mrozik, H.Thieman , etj. Është pjesëmarrës i disa kongreseve dhe konferencave shkencore.  Është anëtar i  Shoqatës së Matematikanëve të Kosovë (aktualisht  kryetar i saj) dhe i Shoqatës së Matematikanëve të Europës. Ka qenë anëtar i Këshillit  Mësimor- Shkencor të FSHMN-s  në disa mandate si dhe anëtar i Senatit të UP-së  (2009-2012). Si punëtor shkencor ka  qenë në vizita studimore (me ç’rast ka mbajtur edhe disa ligjërata tematike) në Universitet e Zagrebit, Varshavës, Tiranës dhe Sofies.

Tëra këto punime e kontribute shkencore janë pasuri kombëtare. Por edhe familja e shëndosh e Prof. Qamilit është pasuri jo vetëm e tij por e tërë shoqërisë dhe e kombit: bashkëshortja Sheribani është arsimtare e matematikës; vajza Afrorja, po ashtu, profesoreshë e matematikës; djali Visari ka titullin master i shkencave në Arkitekturë dhe Dizajn urban ndërsa Jetmiri po përfundon studimet e masterit në Ahen (Gjermani) në shkencat e telekomunikacionit. Dhe kjo është vërtetë një  pasuri !

 Aktivitetin profesional-pedagogjik  Q.Haxhibeqirit e fillon (dhe e vazhdon ende) si mësimdhënës në Departamentin e Matematikës të FSHMN të Universitetit të Prishtinës duke filluar që nga viti 1974 (si asistent prej 1974-76; ligjërues prej 1976 – 82;  docent prej 1982 – 87; profesor inordinar prej 1987-94; profesor i rregullt (ordinar) prej 1994). Gjatë kësaj kohe ka mbajtur ligjërata nga këto lëndë: Topologjia, Analiza funksionale, Analiza III, Gjeometria analitike, Hapësirat metrike, Algjebra lineare me gjeometri analitike, Matematika diskrete, etj. Po ashtu, ka mbajtur kurse të ndryshme nga Topologjia në studimet e magjistraturës (tani të masterit) dhe të doktoraturës të organizuara nga Departamenti i matematikës të FSHMN-së. Ka qenë udhëheqës dhe anëtar i Komisioneve për mbrojtjen e magjistraturave dhe doktoraturave të disa kandidatëve. Përveç në fakultetin amë, ka qenë i angazhuar si mësimdhënës edhe në ish SHLP të Gjakovës (tash Fakulteti i Edukimit) (1975 – 2012), në Universitetin shtetëror të Tetovës (1986- 2009), në Universitetin e Prizrenit ( prej 2011 ) ku ka mbajtur kurse të ndryshme nga matematika.

Gjatë kohës së okupimit serb të Universitetit të Prishtinës  prof. Qamili nuk u nda nga armata e pedagogëve që me përkushtim dhe jo pa sakrifica vazhdojë të mbanë mësim në objektet jashtë atyre universitare por edhe të realizon të arritura shkencore me punime e pjesëmarrje në Konferenca shkencore.

Gjatë kohës së intervenimit të NATO-së  prof. Dr. Qamili qëndron në Gjakovë i paluhatur në vendimin për mos ti lënë tokat dhe trojet tona. Por, më 10. 05. 2009 arrestohet nga forcat okupuese dhe së bashku me shumë qytetarë të Gjakovës  degdiset nëpër kazamatet serbe të asaj kohe (së pari në Gjakovë e Pejë, pastaj në burgun e Dubravës – ku e përjeton dhe mbijeton masakrën e njohur të Dubravës, si dhe në Burgun e Lipjanit për të përfunduar në burgun më famkeq të Nishit. Pushteti serb matematikantin prof. Dr. Haxhibeqirin e dënon me10 vjet burgim për “vepër penale terrorizëm”(!?). Regjimi serb Millosheviqian duke qenë nën presionin ndërkombëtar e liron prof. Qamilin me shumë të tjerë më 25.04.2001.

Mbasë kthimit nga kazamatet serbe ishin të shumët ata që e përgëzuan për qëndrimin dinjitozë dhe për “fatin” e mirë që nuk u bë viktimë e radhës e njerëzve të mëdhenj të kombit ( e kujtojmë me këtë rast prof. Fehmi Aganin, prof. Ukshin Hotin, prof.Hamdi Gashin e sa e sa të tjerë) nga dora gjakatare serbe. Atëbotë ishte bërë praktikë që njerëzve të përvuajtur nëpër kazamatet serbe tu ofrohej mundësia që të angazhohen nëpër vende e detyra fitimprurëse. Të gjitha këtyre ofertave dr. Qamili ui është falënderuar me një të vetmen  përgjigje: ”Unë nuk di asnjë punë me e bë më mirë se  me ligjërua dhe me punua në shkencën e matematikës!”  Ashtu edhe veprojë në vazhdimësi deri në ditët e sotit.

Për  kontributin dhe përkushtimin në punën e tij pedagogjike e profesionale Dr. Qamili ka  marrë Mirënjohjen e Fakultetit të Shkencave Matematike Natyrore të Prishtinë  më 1980 (me rastin e 20 vjetorit të themelimit) si dhe Mirënjohjen e  Ministrisë së Arsimit ,Shkencës dhe Teknologjisë, si pedagog i dalluar universitar, në vitin 2010.

Përkundrejt të gjitha këtyre Abdushi mbetët i njejti: modest dhe i sinqertë , principiel dhe i vendosur me kërkesa ndaj vetes dhe të tjerëve por edhe me plotë humor kur e do vendi! Dhe korrekt përhera!

Fusha e matematikës ku ka punuar dhe  kontribuar me rezultate  shkencore dr. Haxhibeqiri është mjaft e avancuar dhe  abstrakte dhe jo lehtë e kuptueshme jo vetëm për jomatematikanët.  Këtë e thotë edhe Komisioni vlerësues-recensues për hartimin e Raportit recensues për dr. sc. Qamil Haxhibeqirin, profesor i rregullt në Departamentin e Matematikës kur u propozua për anëtar të Akademisë së Shkencave dhe të Arteve të Kosovës. Më 2012 u zgjodh  anëtar korrespodent i  Akademisë së Shkencave dhe Arteve të Kosovës.

Në këtë shkrim  do të shfrytëzojmë   Raportin në fjalë  për bërë një  “ prezantim më të gjerë dhe më elementar të kontributit të dr. Haxhibeqirit, duke filluar me një kontekst shkencor, me komente të përgjithshme për fushën ku ka kontribuar dr. Haxhibeqiri, pastaj me prezantimin e degës ku ka punuar ai dhe me paraqitjen e vet punës së tij”

  1. 1.      Kontributi shkencor

1. 1 Së pari disa komente të përgjithshme për fushën e matematikës ku ka kontribuar Dr.Haxhibeqiri

Fusha ku ka punuar kandidati quhet topologji (nga greqishtja, ‘topos’ që d.m.th. vend dhe logos që është fjalë e famshme në shkencë e nuk po e përkthejmë këtu) dhe merret, në terma të përgjithësuar, me vetitë e objekteve të cilat ruhen nga deformimet e vazhdueshme. Fjala “e vazhdueshme” është qenësore dhe ka një kuptim specifik matematik, që modelohet mbi kuptimin intuitiv të vazhdueshmërisë. Shpesh, joformalisht, topologjia quhet edhe “matematika e gomës” sepse nësë objektet gjeometrike përbëhen nga goma, atëherë topologjia i studion vetitë e deformimeve të atyre, si zgjatja ose tkurrja, por jo prerja ose ngjitja. P.sh., sfera dhe kubi janë objekte që topologjikisht janë “të njëjta”, por sfera dhe trupi gjeometrik në formë gjevreku dallojnë topologjikisht (sepse nuk mund të fitohet njëri objekt nga tjetri vetëm përmes zgjatjes dhe tkurrjes).

Një degë e topologjisë, topologjia algjebrike, merret me studimin e invarianteve algjebrike te objekteve gjeometrike. P.sh., mënyra se si bëhet klasifikimi i objekteve të ndryshme gjeometrike është duke studiuar invariante të tyre algjebrike. Më saktësisht, një objekti X i shoqërojmë një invariantë, p.sh., një grup H(X), dhe nëse për dy objekte X, Y grupet H(X) dhe H(Y) janë jo-izomorfe, atëherë X dhe Y janë topologjikisht të ndryshme. Kuptohet, ka invariante të ndryshëm H(X) për objektin X dhe ideja është të gjenden të tillë që plotësojnë kushte të “mira”,            të reflektojnë strukturën topologjike të hapësirave, dhe të jenë të përshtatshme për të njehsuar invariantet për objekte të ndryshme gjeometrike. (Pa e zgjatur shumë këtu, por vetëm për ta pasur parasysh, duhet përmendur se në shumicën e rasteve invariantet i shoqërohen një çifti që përbëhet nga një hapësirë topologjike dhe një nënhapësirë e saj, e jo vetëm hapësirës, por ne nuk mund të jemi aq preciz në këtë raport të shkurtër.)

Zbatimet në pjesët e tjera të matematikës të topologjisë në përgjithësi, përfshirë topologjinë algjebrike, janë të kudondodhura. Poashtu, topologjia gjen zbatime edhe në lëmitë të ndryshmë, duke filluar nga fizika, kompjuterika (përfshirë robotika dhe imazhet grafike, që përdoren edhe në krijimin e pajisjeve moderne mjekësore), biologjia, ekonomia etj. Një fakt interesant, që vjen si zbatim i drejtpërdrejtë i topologjisë, por që megjithatë nuk e tregon peshën e vërtetë të topologjisë, është ky: në çdo moment, në sipërfaqen e tokës ekzistojnë dy pika diametralisht të kundërta me temperaturë të barabartë njëra me tjetrën. Teorema në topologji që e sjell rezultatin e mësipërm si rrjedhim quhet Teorema Borsuk-Ulam, e emëruar sipas matematikanëve polakë Karol Borsuk dhe Stanisłaë Ulam, dhe e cila thotë se çdo pasqyrim i vazhdueshëm nga një n-sferë në hapësirën n-dimensionale Euklidiane e dërgon të paktën një çift pikash diametralisht të kundërta tek e njëjta pikë. Në rastin e zbatimit në shembullin e temperaturës, pasqyrimi i vazhdueshëm është ai i temperaturës në varësi të pikës mbi sipërfaqen e tokës. Po e theksojmë se, siç e cekëm më sipër, vetia e vazhdueshmërisë është esenciale në këtë rast, sikurse në përgjithësi në topologji.

1. 2 Më tej do ta prezantojmë degën e topologjisë ku ka punuar Dr.Haxhibeqiri

Varësisht se si (përmes homologjisë, kohomologjisë, homotopisë, K-teorisë, etj.) dhe çfarë invariantesh (grupe, unaza, etj.) i shoqërojmë hapësirave topologjike (dhe llojit të atyre hapësiravë), fitojmë teori të ndryshme të topologjisë algjebrike. Por, një problem i menjëhershëm që paraqitet është se disa teori nuk mund të zbatohen për klasa të gjera hapësirash topologjike. Në këtë rast, sikurse shpeshherë në shkencë, duhet të ballafaqohemi me dikotominë: zbatim i gjerë me rezultate më pak të thella apo zbatim më pak i gjerë por me rezultate të thella. Kështu, përderisa teoria (klasike) e homotopisë është zhvilluar mjaft, ajo mund të zbatohet vetëm për hapësirat topologjike me veti të mira lokale.

Përmendja e matematikanit polak K. Borsuk më lartë nuk ishte e rastësishme sepse, në fakt, ai ishte themeluesi i teorisë së formës, e cila duke e modifikuar teorinë e homotopisë mund të zbatohet për çfarëdo hapësirash topologjike. Ideja themelore e teorisë së formës është që një hapësirë “jo e mirë” të përafrohet me hapësira të mira, p.sh., duke e zhytur hapësirën  fillestare në një hapësirë “të mirë” dhe pastaj duke i shqyrtuar rrethinat e zhytjes, ose duke e fituar hapësirën fillestare si limit të sistemeve inverse të hapësirave të mira. Kjo ide lejon që edhe nëse nuk kemi mjaft pasqyrime nga kubi unitar në një hapësirë, me shqyrtimin e përafrimeve, mund të fitojmë mjaft pasqyrime të cilat na lejojnë të zhvillojmë “homotopinë” e dëshiruar.

Borsuk e filloi teorinë e formës kur e përkufizoi (në vitin 1968) kategorinë e formës  të hapësirave metrike kompakte dhe funktorin , ku  është kategoria e homotopisë për komapktet metrike. Menjëherë pas kësaj, matematikani kroat Sibe Mardešić bashkë me matematikanin amerikan Jack Segal e përgjithësuan teorinë e Borsukut për hapësirat kompakte të Hausdorffit, pra duke mos kërkuar që hapësirat të jenë metrike, por duke e shtuar kushtin e Hausdorffit. Nga ana tjetër, Ralph H. Fox e përgjithësoi teorinë e formës për të gjitha hapësirat metrike. Këto dy përgjithësime u unifikuan nga Kiiti Morita në vitin 1974, i cili arriti qe kategorinë e formës ta përgjithësojë për të gjitha hapësirat topologjike.

Më vonë u zbulua kategoria  e formës së fortë dhe funktori i formës së fortë . Meqë mund të vërtetohet se vlen  , ku  është funktori harrues, atëherë del se ky nocion është më i avancuar se ai i formës së zakonshme.

1. 3 Tash mund t’i paraqesim kontributet shkencore të Haxhibeqirit

Detajet bibliografike të punimeve shkencore të kandidatit gjenden në CV-në e bashkëlidhur, kështu që këtu nuk do t’i përmendim punimet veç e veç, por vetëm rezultatet kryesore. Para kësaj, po e vëjmë në një kontekst historik kontributin shkencor të Haxhibeqiriti. Ai i mbaroi studimet e magjistraturës (1974) dhe më pas doktoraturës (1981) në Zagreb, ku për mentor pati Sibe Mardešićin. Në atë kohë, grupi i topologjisë në Zagreb kishte arritur nam botëror në topologjinë algjebrike dhe mund te thuhet se ishte në zenitin e influencës, pikërisht nën udhëheqjen e Mardešićit. Haxhibeqiri arriti që pikërisht në atë periudhë të kontribuojë në avancimin e teorisë së formës dhe të shquhet në grupin e Zagrebit. Kjo i jep një kualifikim kualitativ punës shkencore të kandidatit e cila besojmë se duhet të merret paraysh nga ASHAK.

Më poshtë i radhisim rezultatet kryesore të kandidatit të radhitura në mënyrë kronologjike:

1)      Në vitin 1979 Haxhibeqiri i zgjeron nocionet e retraktit të formës, retraktit ASR dhe retraktit ANSR nga hapësirat kompakte të Hausdorffit (që ishin rezultate të Mardešićit) në hapësirat e çfarëdoshme topologjike. Ai poashtu i vërteton një sërë rezultatesh për nocionet e zgjeruara nga ai.

2)      Në vitin 1982 kandidati i jep dy përkufizima të reja të fibracionit të formës për hapësirat topologjike dhe vërteton se ato janë ekuivalente me përkufizimin e Mardešićit. Ai vërteton se hapësirat topologjike dhe fibracionet e formës formojnë kategori. Këto pohime vërtetohen dhe përdoren disa fakte teknike që janë të rëndësishme në vetvete.

3)      Në të njëjtin vit ai e përkufizon rezolventën për pasqyrimet (funksionet e vazhdueshme) e çifteve të hapësirave topologjike dhe e vërteton ekzistencën e rezolventës poliedrike nivelore të atij pasqyrimi.

4)      Në vitet ’82-’83 kandidati i përgjithëson disa rezultate të Mardešićit, Rushing, Jani dhe Matsumoto për fibracionet e formës. Nëse është dhëne një fibracion i formës ndërmjet hapësirave kompakte të Hausdorffit, ai vërteton se tërheqjet e fibracioneve të formës janë prapë fibracione të formës, se fibrat (fijet) përmbi cilatdo dy pika në të njëjtën komponentë të lidhshmërisë janë ekuivalente sipas formës. Ai po ashtu vërteton se nëse një fibracion i formës i cili është pasqyrim i mbyllur me rang një hapësirë normale, atëherë ekziston një varg ekzakt i grupeve të formës dhe ngushtimi i një fibracioni të formës mbi një nënbashkësi të mbyllur është prapë fibracion i formës.

5)      Në vitin 1985 kandidati vërteton se nëse  është fibracion i formës, nëse  është hapësirë normale dhe e lidhur, atëherë bashkësia  është e dendur në B. Si rrjedhim, del se nëse  është fibracion i formës, nëse  është hapësirë normale dhe e lidhur, kurse  është bashkësi e mbyllur në , atëherë pasqyrimi  është surjekiv. Po ashtu, si rrjedhim i dytë, ai konkludon se nëse  është pasqyrim i mbyllur, atëherë ai është edhe surjektiv.

6)      Në një punim kandidati e studion kategorinë duale me kategorinë e sistemeve direkte të një kategorie

7)      Në vitin 1989, në një punim të përbashkët, Haxhibeqiri dhe matematikani polak Słaëmir Noëak, e përkufizojnë dhe studiojnë kategorinë e formës së fortë stabile të kompakteve të pikëzuara . Më detajisht, ata vërtetojnë se bashkësia e të gjitha morfizmeve të formës së fortë nga suspensioni i n-fishtë i reduktuar  i një kompakti të pikëzuar  në një kompakt të pikëzuar  e ka strukturën e një grupi komutativ për . Ata e zgjerojnë funktorin e suspensionit nga kategoria e homotopisë e kompakteve të pikëzuara në një funktor nga kategoria e formës së fortë dhe vërtetojnë se ky funktor e ruan mbledhjen ne .  Më pas vërtetojnsë se nëse  është një kompakt i pikëzuar i lëvizshëm, atëherë . Poashtu, ata arrijnë të vërtetojnë se për  mjaft të madh dhe , vlen .

8)      Në vitin 1996, Haxhibeqiri i studion prodhimet dhe tërheqjet e fibracioneve. Ai vërteton se hapësirat topologjike si objekte dhe fibracionet si morfizme formojnë kategori. Ai poashtu vërteton se prodhimi e një numri të çfarëdoshëm fibracionesh është prapë fibracion dhe tërheqja e fibracionit është prapë fibracion.

9)      Në vitin 1997, kandidati vërteton se nëse  është fibracion i dobët, atëherë homomorfizmi i induktuar i grupeve homotopike  është izomorfizëm, ku  është fibra përmbi . Pastaj, ai e gjen një varg të gjatë ekzakt të grupeve homotopike.

10)  Në vitin 2001 (edhe pse punimi ishte përgatitur më herët, luftërat në Ballkan e kanë vonuar botimin e këtij punimi për më shumë se një dekadë, sikurse kanë ndikuar, fatkeqësisht edhe në punën e kandidatit), bashkë me ko-autorin S. Noëak, e studion dualitetin ndërmjet morfizmeve të formës së fortë stabile dhe klasave të homotopisë stabile. Ata vërtetojnë se ekziston një funktor aditiv kontravariant  i tillë që  për çdo nënkompakt  të ,  është izomorfizëm i grupeve komutative për të gjithë kompaktet . Një rezultat i ngjashëm për teorinë e formës (por jo formës së fortë) ishte vërtetuar nga E. Lima. Rezultati i Haxhibeqirit dhe Nowakut është përgjithësim i teoremës së mirënjohur të Spanier-Whiteheadit. Në punimin e tyre, ata poashtu vërtetojnë se nëse ,  është përfshirja dhe  përftohet nga përfshirja e  në , atëherë .

Rezultatet e mësipërme vetëm i kemi përmbledhur sepse për t’i shkruar në mënyrë precize do të duhej të përdoreshin simbole kuptimi i të cilave do të merrte kohë dhe hapësirë për t’i shpjeguar. Në fakt, vetëm për t’i kuptuar rezultatet e dr.Haxhibeqirit nevojitet matematikë e nivelit jashtëzakonisht të avancuar. Ai ka arritur me sukses të depërtojë në një fushë shumë të vështirë dhe ku ka pasur mjaft aktivitete e ku ka qenë jo e lehtë të arrihen rezultate origjinale dhe të rëndësishme. Puna e tij është jashtëzakonisht e çmuar dhe është përdorur ose cituar edhe nga matematikanë të tjerë (nga vende të ndryshme të botës, përfshirë Gjermaninë, Japoninë dhe vendet ballkanike). Po e përmendim, poashtu, se në Enciklopedinë e Matematikës të Shoqatës së Matematikanëve të Evropës, në pjesën ku shpjegohet teoria e formës së fortë, përmendet edhe rezultati i dualitetit i Haxhibeqirit dhe Nowakut.

  1. 2.      Kontributet e tjera profesionale

Edhe pse sipas mendimit tonë modest janë kontributet shkencore, më saktësisht kualiteti dhe asesi numri i tyre, ato që duhet të jenë përcaktuese të kandidaturave për ASHAK, nuk po hezitojmë të japim informata shtesë për kandidatin, të cilat dëshmojnë për kontributin e përgjithshëm të tij për matematikën dhe komunitetin shkencor në Kosovë dhe më gjerë.

Q. Haxhibeqiri ka dhënë mësim në Universitetin e Prishtinës nga viti 1974 (asistent ’74-‘76, ligjerues ’76-’82, docent ’82-’87, profesor inordinar ’87-’94, dhe profesor ordinar ose i rregullt nga viti 1994). Ka ligjeruar lëndet e Topologjisë, Geometrisë analitike, Algjebrës lineare me gjeometrisë analitike, Hapësirave metrike, etj. Ai është shquar vazhdimisht nga efektshmëria në mësimdhënie, përkushtimi në punë dhe korrektësia e pashoqe me kolegët. Studentët e të gjitha gjeneratave  të cilët kanë dëgjuar ligjëratat te Haxhibeqiri, kanë mendim superior për angazhimin e gjithanshëm të tij në procesin edukativ e arsimor.

Një aspekt shumë i rëndësishëm i kontributit të Haxhibeqirit për komunitetin shkencor ka qenë përmes autorësisë së teksteve universitare (ndër të cilët shquhet libri “Topologjia” i botuar në vitin 1989). Lista e plotë e librave, punimeve dhe kontributeve të tjera gjendet në CV-në e bashkëlidhur të kandidatit, por vlen të përmendet se kandidati është autor ose ko-autor edhe i një numri tekstesh shkollore si dhe i disa punimeve që për audiencë kanë entuziastët e matematikës, gjë që dëshmon edhe përkushtimin e tij, por edhe aftësinë e kandidatit për të prezantuar nocione, probleme dhe rezultate shkencore për audienca të ndryshme. Në bashkësinë e kontributeve të Haxhibeqirit për matematikën në Kosovë janë të vlefshme edhe përkthimet e tij të dy librave nga serbo-kroatishtja, “Probabiliteti dhe statistika matematike” të autorëve Z. Ivkoviq dhe D. Banjeviq dhe “Hyrje në matematikë: Bashkësitë-Strukturat-Numrat” të S. Kurepës, në vitet 1985 dhe 1976, respektivisht.

Po kthehemi edhe një herë tek libri “Topologjia” i kandidatit sepse e ndajmë mendimin se është ndër librat, nëse jo libri, më i kompletuar i matematikës në gjuhën shqipe. Prezantimi është aq kualitativ dhe i thellë, e njëkohësisht konciz, sa që do të mund vazhdojë të përdoret si tekst universiteti për një kohë të gjatë dhe njëkohësisht të jetë si referencë për nocione bazike.

Haxhibeqiri ka qenë aktiv me pjesëmarrje në konferenca të shumta ndërkombëtare dhe ka realizuar një numër vizitash studimore. Është anëtar i Këshillit Drejtues të Shoqatës së Matematikanëve të Kosovës nga themelimi (2008) dhe anëtar i Shoqatës së Matematikanëve të Evropës. Aktualisht është kryetar i Shoqatës së Matematikanëve të Kosovës.

  1. 3.      Përfundim

Duke i pasur parasysh të gjitha ato që i përmendëm më sipër, e para së gjithash kontributet shkencore të rëndësisë së lartë të dr. sc. Qamil Haxhibeqirit dhe kontributet multidimensionale profesionale, e shprehim kënaqësinë e jashtëzakonshme dhe privilegjin që ta mbështesim pa asnjë rezervë propozimin për anëtarësim të dr. sc. Qamil Haxhibeqirit në Akademinë e Shkencave dhe të Arteve të Kosovës.

Nuk hezitojmë ta ndajmë me ju edhe mendimin se Haxhibeqiri është kandidati që, sipas nesh, më së miri i plotëson kushtet nga kandidatët e propozuar nga Departamenti i Matematikës për anëtarësim në ASHAK, me gjithë respektin për kontributin e secilit kandidat. Puna e Haxhibeqirit i ka qëndruar kohës e tash mendojmë se ka ardhur koha që ai të jetë anëtar i institucionit më të lartë shkencor në vendin tonë.

Veprimtaria botuese:

  1. A.       Punime shkencore:
  1. Q. Haxhibeqiri, S. Noëak: Duality betëeen  stable strong shape morphisms and Stable homotopy classes, Glas. Mat. Zagreb, 2001.
    1. Q. Haxhibeqiri, Vargu ekzakt  i fibracionit, Bul. Shkencor 4, SHLP “B.Curri”,  Gjakovë ; 1997.
    2. Q. Haxhibeqiri, The product and pullback of fibrations, Bul. i pun. Shkenc. i  FSHMN, Prishtinë; 1996.
    3. Q. Haxhibeqiri, Limite te vargut të përgjithsuar të nënbashkësive të një hapësire topologjike , Buletini shkencor 3 i SHLP “B.Curri”, Gjakovë, 1995;
    4. Q. Haxhibeqiri, S. Noëak,   Stable strong shape theory,Glasn.Matematicki, Zagreb, 1989;
    5. Q. Haxhibeqiri, Kategorija  Inj C, Buletini shkencor 2, SHLP “B.Curri”, Gjakovë, 1987;
    6. Q. Haxhibeqiri, On resolutions for maps of pairs of spaces, Punime matematike, Prishtinë, 1986
    7. Q. Haxhibeqiri, On the surjectivity of shape fibration, Matem. Vesnik, Beograd, 1985;
    8. Q. Haxhibeqiri, The exact sequence of a shape fibration, Glas. Matemat.  , Zagreb,1983.
    9. Q. Haxhibeqiri, Shape fibrations for compact Hausdorff spaces, Publication de  l’Inst.

                                                                                                      Mathematique., Beograd, 1982;

  1. Q. Haxhibeqiri, Resolutions of maps of pairs, Bul. i pun. Shkenc.i FSHMN, Prishtinë,1982
  2. Q.Haxhibeqiri, Shape fibrations for topological spaces, Glas. Matematicki, Zagreb, 1982;
  3. Q. Haxhibeqiri,  Fibracije oblika za topoloske prostore, (disertacioni), Zagreb, 1981.
  4. Q. Haxhibeqiri, Retrakti oblika za proizvoljne topoloske prostore, Bul. i pun. shkenc. i

                                                                                                            FSHMN, Prishtinë 1975;

  1. Q. Haxhibeqiri, Retrakti u topoloskoj kategoriji i u kategoriji oblika (punimi i

                                                                                                         magjistraturës),  Zagreb, 1974

  1. B.             Punime profesionale:
  2. Q.Haxhibeqiri, Enigma e Ajnshtajnit,  “Plus”, Tetovë 2012
  3. Q.Haxhibeqiri, Vërtetimi i disa pabarazimeve, “Plus”, 70, Tetovë, 2010;
  4.  Q.Haxhibeqiri, Dy kuriozitete matematike, “Plus”, 70, Tetovë 2010;
  5. Q.Haxhibeqiri, Ndërtimi i përafërt i n-këdëshit të rregullt. Syprina e sipërfaqes n- këndëshe të rregullt; teorema e përgjithsuar e Pitagorës, “Plus”, 64, Tetovë, 2008;
  6. Q. Haxhibeqiri, Disa detyra që zgjidhen me anën e pabarazimeve, “Plus”,  57,58, Tetovë,2007
  7. Q.Haxhibeqiri, Vërtetimi i disa teoremave të rralla për katërkëndëshat, “Plus”55,56, 2006

22. Q. Haxhibeqiri, Marrëveshja fitimprurëse,  “Plus”,44,  Tetovë, 2003;

23. Q. Haxhibeqiri, Teorema e Napoleonit,  “Plus”, 43,  Tetovë, 2003;

24.  Q. Haxhibeqiri, Një detyrë interesante “Plus” 36,  Tetovë, 2002;

25. Q. Haxhibeqiri, Pjestueshmëria me 11,  “Plus” 35, Tetovë, 2001;

26. Q. Haxhibeqiri, Numri më i madh me katër shifra të njëjta,  “Plus” 33,  Tetovë, 2001;

27. Q. Haxhibeqiri,  Kush e ka unazën ?   “Plus” 32,  Tetovë, 2000;

28. Q. Haxhibeqiri, Cila thyesë është më e madhe ?   “Plus”,26, Tetovë, 1999;

29. Q. Haxhibeqiri,  Disa vërtetime të teoremës së Pitagorës,  “Plus”,26, Tetovë, 1999;

30.Q. Haxhibeqiri,  Vërtetimi i disa teoremave të arithmetikës me metodat gjeometrike

                                                                                                         “Plus”, 24, Tetovë,1998 ;

31. Q. Haxhibeqiri, Për mendjemprehtët !  “Plus”,23, Tetovë,1998;

32. Q. Haxhibeqiri,  Disa sofizma matematikore, “Plus”, 16, Tetovë, 1996;

33. Q. Haxhibeqiri,  Mesi arithmetik, mesi gjeometrik dhe mesi harmonik, “Plus 12,13,                                                                                                              Tetovë 1995,1996.

34. Q. Haxhibeqiri, Zgjidhja e disa detyrave logjike, “Plus”,10,11, Tetovë, 1995;

35. Q. Haxhibeqiri,   Aritmatika e ores,  “Plus”, 10, Tetovë, 1995;

36. Q. Haxhibeqiri,  Funksioni invers,  Matematika – Fizika,2, Prishtinë, 1982;

37. Q. Haxhibeqiri, Mbi përkufizimin e funksionit dhe relacionit, Matematika – Fizika,1,  Prishtinë, 1982

38. Q. Haxhibeqiri,  Disa elemente të logjikës matematike, “Dituria”, 2-3, Prishtinë, 1971/72;

  1. C.             Libra :

39.  Q.Haxhibeqiri (koautor me M. Efendiun, R. Limanin),  Analizë me teorei të gjasës

                          drejtimi Matematikë- Informatikë (për Gjimnaze),  Prishtinë, 2005;

40. Q. Haxhibeqiri (koautor me M. Efendiun, R. Limanin),  Matematika 11 drejtimi

                                                            matematikë-  informatikë (për Gjimnaze), Prishtinë, 2006.

41. Q. Haxhibeqiri, Përmbledhje detyrash nga topologjia (tekst universitar), UP, Prishtinë,1996

42. Q. Haxhibeqiri,  Topologjia (tekst universitar), EtMM, PrishtinEtMM, Prishtinë,1989.

43. Q.Haxhibeqiri, S. Zdravkovska,  Uvod u algebarsku topologiju, (skripta), Prishtinë, 1979.

  1. D.            Libra të përkthyer në gjuhën shqipe:

44. Z. Ivkoviq, D. Banjeviq,  Probabiliteti dhe statistika matematike, Prishtinë 1985;

45. S. Kurepa, Hyrje në matematikë: Bashkësitë- Strukturat- Numrat,  ETM, Prishtinë, 1976.

 E. Konferencat Shkencore/ Vizitat studimore

 1. International Conference on  Geometric Topology, Dubrovnik , 2007, me kumtesën    The

                                                                                                      product of  Shape fibrations.  

2. Vizitë studimore (dhjetëditore) në Universitetin e Sofies, Bulgari, 1987.

3. International Conference “Shape theory and Geometric Topology”, IUC, Dubrovnik, 1986;

4. Vizitë studimore (gjashtëmujore)  në Universitetin e Varshavës, Poloni.

5. International ConferenceTopology and its applications”, IUC, Dubrovnik, 1990, (kumtesa:

                        Stable strong shape theory).

6. Kongresi i VIII i matematikanëve, fizicientëve e astronomëve të Jugosllvisë.,  Prishtinë, 1985,

 (me kumtesën  Fibracije oblika topoloski prostora).

7. International ConferenceTopology and its applications”, IUC, Dubrovnik, 1985, (kumtesa:

                        On the surjectivity of Shape Fibrations).

8. International Conference “Shape theory and geometric topology”, IUC, Dubrovnik, 1981;

9. The VII-nth Congress of Mathematician, Physician and Astronomer of (former) Yugoslavia  Budva-Becic,    1980; (kumtesa: The pullback of shape fibration).

10. Qëndrim studimor (njëvjeçar)  në Universitetitn e Zagrebit, 1979 – 1980.

11. International symposium “Theory of sets, Foundations of Mathematics”, Beograd, 1977.

12. The VI-nth Balcanic Congress of Mathematicians,  Varna (Bulgaria), 1975, (me kumtesën:

                                         A generalization of a theorem due to S.Mardesic).

13. Qëndrim studimor (njëmujor) në Universitetin e Tiranës, 1977.

14. The VI-nth Congress of Mathematicians, Physicians and Astronomers of Yugoslavia,

                                Novi Sad,1975 (me kumtesën: Retrakti  u kategoriji oblika).